Στροφορμή

Εισαγωγή στη Στροφορμή

Η στροφορμή (ή γωνιακή ορμή) είναι το θεμελιώδες μέγεθος που περιγράφει την "ποσότητα" περιστροφικής κίνησης ενός σώματος. Αποτελεί το περιστροφικό ανάλογο της ορμής στην ευθύγραμμη κίνηση και διατηρείται σε απομονωμένα συστήματα.

Ορισμός

Για Υλικό Σημείο

Η στροφορμή ενός υλικού σημείου ως προς ένα σημείο αναφοράς ορίζεται ως:

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v})$$

όπου:

• $\vec{r}$: το διάνυσμα θέσης από το σημείο αναφοράς
• $\vec{p}$: η ορμή του σωματιδίου
• $m$: η μάζα
• $\vec{v}$: η ταχύτητα

Το μέτρο είναι:

$$L = rmv\sin\phi = mvd$$

όπου $\phi$ η γωνία μεταξύ $\vec{r}$ και $\vec{v}$, και $d$ η κάθετη απόσταση της γραμμής κίνησης από το σημείο αναφοράς.

Για Στερεό Σώμα

Για ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα:

$$L = I \cdot \omega$$

όπου:

• $I$: η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής
• $\omega$: η γωνιακή ταχύτητα

Μονάδες Μέτρησης

Η μονάδα της στροφορμής στο SI είναι:

$$[L] = \text{kg} \cdot \text{m}^2 / \text{s} = \text{kg}\cdot\text{m}^2\text{/s}$$

ή ισοδύναμα:

$$[L] = \text{J} \cdot \text{s}$$ (Joule επί δευτερόλεπτο)

Διανυσματικός Χαρακτήρας

Η στροφορμή είναι διανυσματικό μέγεθος. Για περιστροφή γύρω από σταθερό άξονα:

$$\vec{L} = I\vec{\omega}$$

Η διεύθυνση του $\vec{L}$ είναι κατά μήκος του άξονα περιστροφής, με φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.

Σχέση με τη Ροπή

Η ροπή είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής:

$$\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$$

Για περιστροφή γύρω από σταθερό άξονα:

$$\tau = \frac{dL}{dt} = I\frac{d\omega}{dt} = I\alpha$$

Αυτή η σχέση είναι το περιστροφικό ανάλογο του δεύτερου νόμου του Newton ($\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$).

Αρχή Διατήρησης της Στροφορμής

Αν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα είναι μηδέν:

$$\sum \vec{\tau}_{\text{εξ}} = 0 \Rightarrow \vec{L} = \text{σταθερό}$$

Δηλαδή:

$$L_{\text{αρχ}} = L_{\text{τελ}}$$

$$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$$

Εφαρμογές της Διατήρησης

1. Πατινατζής που μαζεύει τα χέρια: Μειώνει το $I$, αυξάνει το $\omega$
2. Χορεύτρια που ανοίγει τα χέρια: Αυξάνει το $I$, μειώνει το $\omega$
3. Πλανήτες σε ελλειπτική τροχιά: Κοντά στον Ήλιο κινούνται πιο γρήγορα
4. Γυροσκόπια: Διατηρούν τον προσανατολισμό τους

Στροφορμή Συστήματος

Για ένα σύστημα σωματιδίων, η συνολική στροφορμή είναι:

$$\vec{L}_{\text{συν}} = \sum_i \vec{L}_i = \sum_i \vec{r}_i \times \vec{p}_i$$

Σύγκριση Ευθύγραμμης και Περιστροφικής Κίνησης

Κινητική Ενέργεια και Στροφορμή

Η κινητική ενέργεια περιστροφής μπορεί να εκφραστεί μέσω της στροφορμής:

$$K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{L^2}{2I}$$