Ρητοποίηση Παρονομαστή

Εισαγωγή

Η ρητοποίηση παρονομαστή είναι η διαδικασία απαλοιφής των ριζών από τον παρονομαστή ενός κλάσματος. Αυτό επιτυγχάνεται πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή με κατάλληλη έκφραση.

Γιατί Ρητοποιούμε;

Η ρητοποίηση:

1. Απλοποιεί τους υπολογισμούς - Ευκολότερες αριθμητικές πράξεις
2. Τυποποιεί την έκφραση - Κοινή μορφή για σύγκριση
3. Απαιτείται σε εξετάσεις - Θεωρείται η "σωστή" μορφή

Περίπτωση 1: Απλή Τετραγωνική Ρίζα

Για κλάσμα της μορφής $\frac{a}{\sqrt{b}}$:

$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$$

Παράδειγμα

$$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$

Με Συντελεστή στον Παρονομαστή

$$\frac{6}{2\sqrt{5}} = \frac{6}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{6\sqrt{5}}{10} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$$

Περίπτωση 2: Ρίζα n-οστού Βαθμού

Για $\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}}$ με $m < n$:

Πολλαπλασιάζουμε με $\sqrt[n]{b^{n-m}}$ ώστε ο εκθέτης στον παρονομαστή να γίνει $n$:

$$\frac{a}{\sqrt[n]{b^m}} = \frac{a \cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^m} \cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}} = \frac{a\sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^n}} = \frac{a\sqrt[n]{b^{n-m}}}{b}$$

Παράδειγμα

$$\frac{2}{\sqrt[3]{4}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{2\sqrt[3]{2}}{2} = \sqrt[3]{2}$$

Περίπτωση 3: Άθροισμα ή Διαφορά Ριζών

Για παρονομαστή $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ ή $\sqrt{a} - \sqrt{b}$, χρησιμοποιούμε τη συζυγή έκφραση.

Διαφορά Τετραγώνων

$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$$

Για Παρονομαστή $\sqrt{a} + \sqrt{b}$

Πολλαπλασιάζουμε με $\sqrt{a} - \sqrt{b}$:

$$\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}$$

Για Παρονομαστή $\sqrt{a} - \sqrt{b}$

Πολλαπλασιάζουμε με $\sqrt{a} + \sqrt{b}$:

$$\frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}$$

Παράδειγμα Αναλυτικό

Να ρητοποιηθεί η $\frac{6}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$:

$$\frac{6}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$$

$$= \frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} = 2(\sqrt{5} - \sqrt{2})$$

$$= 2\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$$

Περίπτωση 4: Ρητός και Ρίζα

Για παρονομαστή $a + \sqrt{b}$ ή $a - \sqrt{b}$:

$$\frac{c}{a + \sqrt{b}} = \frac{c(a - \sqrt{b})}{(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})} = \frac{c(a - \sqrt{b})}{a^2 - b}$$

Παράδειγμα

$$\frac{4}{3 + \sqrt{5}} = \frac{4(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{4(3 - \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{4(3 - \sqrt{5})}{4}$$

$$= 3 - \sqrt{5}$$

Περίπτωση 5: Διπλές Ρίζες

Για σύνθετους παρονομαστές, μπορεί να χρειαστούν πολλαπλά βήματα:

$$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$$

Ομαδοποιούμε: $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}$

Πρώτα πολλαπλασιάζουμε με $(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5}$, μετά συνεχίζουμε αν χρειαστεί.

Ρητοποίηση Αριθμητή

Μερικές φορές χρειάζεται να ρητοποιήσουμε τον αριθμητή (π.χ. σε όρια):

$$\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} = \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$$

$$= \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$$

Συνοπτικός Πίνακας