Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις

Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις

Οι εξαναγκασμένες ταλαντώσεις συμβαίνουν όταν σε ένα ταλαντωτή ασκείται εξωτερική περιοδική δύναμη. Αυτή η διέγερση αντισταθμίζει τις απώλειες ενέργειας και διατηρεί την ταλάντωση.

Εξίσωση Κίνησης

Για ταλαντωτή με απόσβεση και εξωτερική διέγερση:

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\omega_d t)$$

όπου $F_0$ είναι το πλάτος της εξαναγκαστικής δύναμης και $\omega_d$ η συχνότητα διέγερσης.

Σε κανονικοποιημένη μορφή:

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\gamma\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\omega_d t)$$

Μεταβατική και Μόνιμη Κατάσταση

Μεταβατική κατάσταση: Αρχικά το σύστημα ταλαντώνεται με σύνθετο τρόπο (άθροισμα ιδιοταλάντωσης και εξαναγκασμένης).

Μόνιμη κατάσταση: Μετά από αρκετό χρόνο ($t >> \tau$), η ιδιοταλάντωση σβήνει και παραμένει μόνο η εξαναγκασμένη με την ίδια συχνότητα με τη διέγερση:

$$x(t) = A(\omega_d)\cos(\omega_d t - \varphi)$$

Πλάτος της Εξαναγκασμένης Ταλάντωσης

Το πλάτος στη μόνιμη κατάσταση είναι:

$$A(\omega_d) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega_d^2)^2 + 4\gamma^2\omega_d^2}}$$

ή ισοδύναμα:

$$A(\omega_d) = \frac{F_0/k}{\sqrt{\left(1 - \frac{\omega_d^2}{\omega_0^2}\right)^2 + \frac{4\gamma^2\omega_d^2}{\omega_0^4}}}$$

Διαφορά Φάσης

Η απόκριση υστερεί σε φάση από τη διέγερση κατά:

$$\tan\varphi = \frac{2\gamma\omega_d}{\omega_0^2 - \omega_d^2}$$

• $\omega_d << \omega_0$: $\varphi \approx 0$ (σε φάση)
• $\omega_d = \omega_0$: $\varphi = 90°$
• $\omega_d >> \omega_0$: $\varphi \approx 180°$ (αντίθεση φάσης)

Συντονισμός

Το φαινόμενο του συντονισμού συμβαίνει όταν η συχνότητα διέγερσης πλησιάζει την ιδιοσυχνότητα του συστήματος.

Η συχνότητα συντονισμού (όπου το πλάτος γίνεται μέγιστο) είναι:

$$\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\gamma^2}$$

Για μικρή απόσβεση ($\gamma << \omega_0$): $\omega_r \approx \omega_0$

Το μέγιστο πλάτος στο συντονισμό:

$$A_{max} = \frac{F_0}{2m\gamma\omega_r} \approx \frac{F_0 Q}{k}$$

όπου $Q = \frac{\omega_0}{2\gamma}$ ο παράγοντας ποιότητας.

Καμπύλη Συντονισμού

Η γραφική παράσταση του πλάτους $A$ ως συνάρτηση του $\omega_d$:

• Για μικρή απόσβεση: Οξεία κορυφή κοντά στο $\omega_0$
• Για μεγάλη απόσβεση: Πλατιά καμπύλη με χαμηλό μέγιστο
• Το εύρος ζώνης (πλάτος στο $\frac{A_{max}}{\sqrt{2}}$) είναι: $\Delta\omega = 2\gamma = \frac{\omega_0}{Q}$

Ισχύς και Συντονισμός Ισχύος

Η μέση ισχύς που απορροφάται από τον ταλαντωτή:

$$\langle P \rangle = \frac{F_0^2 \gamma \omega_d^2}{m[(\omega_0^2 - \omega_d^2)^2 + 4\gamma^2\omega_d^2]}$$

Η μέγιστη απορρόφηση ισχύος συμβαίνει ακριβώς στο $\omega_d = \omega_0$.

Παραδείγματα Συντονισμού

• Κούνια: Σπρώχνουμε στη σωστή συχνότητα για μέγιστο πλάτος
• Γέφυρες: Μπορούν να καταρρεύσουν αν διεγερθούν στην ιδιοσυχνότητά τους (Tacoma Narrows)
• Ραδιόφωνα: Συντονίζουμε το κύκλωμα στη συχνότητα του σταθμού
• Μοριακή φασματοσκοπία: Τα μόρια απορροφούν φως σε συγκεκριμένες συχνότητες