Ορισμός Συνάρτησης

Εισαγωγή στις Συναρτήσεις

Η έννοια της συνάρτησης είναι μία από τις θεμελιώδεις έννοιες των Μαθηματικών. Οι συναρτήσεις μας επιτρέπουν να περιγράψουμε σχέσεις μεταξύ ποσοτήτων και να μελετήσουμε πώς μια ποσότητα εξαρτάται από μια άλλη. Από τη φυσική μέχρι την οικονομία, οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται παντού για να μοντελοποιήσουν πραγματικά φαινόμενα.

Ορισμός της Συνάρτησης

Ορισμός: Έστω $A$ και $B$ δύο μη κενά σύνολα. Μια συνάρτηση $f$ από το $A$ στο $B$ είναι μια αντιστοιχία που σε κάθε στοιχείο $x$ του $A$ αντιστοιχίζει ένα και μόνο ένα στοιχείο $y$ του $B$.

Συμβολίζουμε: $f: A \to B$ ή $y = f(x)$

Το στοιχείο $y$ που αντιστοιχεί στο $x$ λέγεται τιμή της συνάρτησης στο $x$ και συμβολίζεται $f(x)$.

Πεδίο Ορισμού (Domain)

Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης $f$ είναι το σύνολο όλων των τιμών του $x$ για τις οποίες η συνάρτηση είναι ορισμένη. Συμβολίζεται με $D_f$ ή $\text{Dom}(f)$.

$$D_f = \{x \in \mathbb{R} : \text{η } f(x) \text{ ορίζεται}\}$$

Κανόνες για τον υπολογισμό του πεδίου ορισμού:

1. Κλάσματα: Ο παρονομαστής πρέπει να είναι διάφορος του μηδενός
2. Ρίζες άρτιας τάξης: Το υπόρριζο πρέπει να είναι μη αρνητικό
3. Λογάριθμοι: Το όρισμα πρέπει να είναι θετικό

Σύνολο Τιμών (Range)

Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης $f$ είναι το σύνολο όλων των τιμών που μπορεί να πάρει η $f(x)$ καθώς το $x$ διατρέχει το πεδίο ορισμού. Συμβολίζεται με $f(A)$ ή $\text{Range}(f)$.

$$f(A) = \{y \in \mathbb{R} : y = f(x) \text{ για κάποιο } x \in D_f\}$$

Συμβολισμός Συνάρτησης

Ο συμβολισμός $f(x)$ διαβάζεται "$f$ του $x$" και αναπαριστά την τιμή της συνάρτησης $f$ στο σημείο $x$.

Παράδειγμα: Αν $f(x) = 2x + 3$, τότε:

• $f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$
• $f(0) = 2 \cdot 0 + 3 = 3$
• $f(-2) = 2 \cdot (-2) + 3 = -1$

Γραφική Παράσταση

Η γραφική παράσταση (ή καμπύλη) μιας συνάρτησης $f$ είναι το σύνολο όλων των σημείων $(x, y)$ του επιπέδου όπου $y = f(x)$.

$$C_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x \in D_f \text{ και } y = f(x)\}$$

Κατακόρυφο κριτήριο: Μια καμπύλη στο επίπεδο είναι γραφική παράσταση συνάρτησης αν και μόνο αν κάθε κατακόρυφη ευθεία την τέμνει σε το πολύ ένα σημείο.

Είδη Συναρτήσεων

Πολυωνυμικές Συναρτήσεις

Έχουν τη μορφή $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0$

Ρητές Συναρτήσεις

Έχουν τη μορφή $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ όπου $P$, $Q$ πολυώνυμα

Άρρητες Συναρτήσεις

Περιέχουν ρίζες, π.χ. $f(x) = \sqrt{x}$

Ισότητα Συναρτήσεων

Δύο συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι ίσες αν και μόνο αν:

1. Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού: $D_f = D_g$
2. $f(x) = g(x)$ για κάθε $x$ στο κοινό πεδίο ορισμού

Μονοτονία Συνάρτησης

Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού $D_f$ λέγεται:

• Γνησίως αύξουσα στο $D_f$ αν για κάθε $x_1, x_2 \in D_f$ με $x_1 < x_2$ ισχύει $f(x_1) < f(x_2)$
• Γνησίως φθίνουσα στο $D_f$ αν για κάθε $x_1, x_2 \in D_f$ με $x_1 < x_2$ ισχύει $f(x_1) > f(x_2)$
• Μονότονη αν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα

Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις

Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού συμμετρικό ως προς το $0$ λέγεται:

• Άρτια αν $f(-x) = f(x)$ για κάθε $x \in D_f$ (η γραφική παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα $y$)
• Περιττή αν $f(-x) = -f(x)$ για κάθε $x \in D_f$ (η γραφική παράσταση είναι συμμετρική ως προς την αρχή $O$)