Μελέτη Συνάρτησης

Παράδειγμα 1: Να γίνει πλήρης μελέτη της $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.

Λύση:

1. Πεδίο Ορισμού: $x^2 + 1 > 0$ πάντα, άρα $A = \mathbb{R}$

2. Συμμετρία:

$f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = f(x)$

Η $f$ είναι άρτια (συμμετρία ως προς $y$)

3. Τομές με άξονες:

• $f(0) = \frac{-1}{1} = -1$, τομή με $y$: $(0, -1)$
• $f(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$, τομές με $x$: $(-1, 0)$, $(1, 0)$

4. Όρια - Ασύμπτωτες:

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 1$

Οριζόντια ασύμπτωτη: $y = 1$

5. Πρώτη Παράγωγος:

$f'(x) = \frac{2x(x^2+1) - (x^2-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{4x}{(x^2+1)^2}$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$

• $x < 0$: $f'(x) < 0$ (φθίνουσα)
• $x > 0$: $f'(x) > 0$ (αύξουσα)

Τοπικό ελάχιστο στο $x = 0$ με $f(0) = -1$

6. Σύνολο Τιμών: $f(\mathbb{R}) = [-1, 1)$

Παράδειγμα 2: Να γίνει πλήρης μελέτη της $f(x) = xe^{-x}$.

Λύση:

1. Πεδίο Ορισμού: $A = \mathbb{R}$

2. Συμμετρία: $f(-x) = -xe^x \neq \pm f(x)$, ούτε άρτια ούτε περιττή

3. Τομές με άξονες:

• $f(0) = 0$, τομή: $(0, 0)$
• $f(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ (μοναδική τομή με τον άξονα $x$)

4. Όρια - Ασύμπτωτες:

$\lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$ (De L'Hospital)

$\lim_{x \to -\infty} xe^{-x} = -\infty$

Οριζόντια ασύμπτωτη: $y = 0$ (στο $+\infty$)

5. Πρώτη Παράγωγος:

$f'(x) = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x)$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1$

• $x < 1$: $f'(x) > 0$ (αύξουσα)
• $x > 1$: $f'(x) < 0$ (φθίνουσα)

Τοπικό και ολικό μέγιστο στο $x = 1$ με $f(1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$

6. Δεύτερη Παράγωγος:

$f''(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x}(x-2)$

$f''(x) = 0 \Rightarrow x = 2$

• $x < 2$: $f''(x) < 0$ (κοίλη)
• $x > 2$: $f''(x) > 0$ (κυρτή)

Σημείο καμπής: $(2, 2e^{-2}) = (2, \frac{2}{e^2})$

7. Σύνολο Τιμών: $f(\mathbb{R}) = (-\infty, \frac{1}{e}]$

Παράδειγμα 3: Να γίνει πλήρης μελέτη της $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$.

Λύση:

1. Πεδίο Ορισμού: $A = \mathbb{R} \setminus \{1\}$

2. Συμμετρία: Το πεδίο ορισμού δεν είναι συμμετρικό, άρα ούτε άρτια ούτε περιττή

3. Τομές με άξονες:

• $f(0) = 0$, τομή με $y$: $(0, 0)$
• $f(x) = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$, μοναδική τομή με $x$

4. Όρια - Ασύμπτωτες:

Κατακόρυφη: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$

Κατακόρυφη ασύμπτωτη: $x = 1$

Πλάγια: $f(x) = \frac{x^2}{x-1} = x + 1 + \frac{1}{x-1}$ (διαίρεση)

Πλάγια ασύμπτωτη: $y = x + 1$

5. Πρώτη Παράγωγος:

$f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ ή $x = 2$

Πρόσημο $f'$:

• $x < 0$: $f'(x) > 0$
• $0 < x < 1$: $f'(x) < 0$
• $1 < x < 2$: $f'(x) < 0$
• $x > 2$: $f'(x) > 0$

Τοπικό μέγιστο στο $x = 0$: $f(0) = 0$

Τοπικό ελάχιστο στο $x = 2$: $f(2) = 4$

6. Σύνολο Τιμών: $f(A) = (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$

Παράδειγμα 4: Να γίνει πλήρης μελέτη της $f(x) = x - \ln x$.

Λύση:

1. Πεδίο Ορισμού: $x > 0$, άρα $A = (0, +\infty)$

2. Τομές με άξονες:

• Δεν υπάρχει τομή με τον άξονα $y$ (το $0$ δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού)
• $f(x) = 0 \Rightarrow x = \ln x$: Αυτή η εξίσωση δεν λύνεται αλγεβρικά. Θα δούμε ότι η $f$ έχει ελάχιστο $1$ στο $x = 1$, άρα $f(x) > 0$ για κάθε $x > 0$, $x \neq 1$, και $f(1) = 1 > 0$. Άρα καμία τομή με τον άξονα $x$.

3. Όρια - Ασύμπτωτες:

$\lim_{x \to 0^+} (x - \ln x) = 0 - (-\infty) = +\infty$

Κατακόρυφη ασύμπτωτη: $x = 0$

$\lim_{x \to +\infty} (x - \ln x) = +\infty$ (το $x$ κυριαρχεί)

4. Πρώτη Παράγωγος:

$f'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1$

• $0 < x < 1$: $f'(x) < 0$ (φθίνουσα)
• $x > 1$: $f'(x) > 0$ (αύξουσα)

Τοπικό και ολικό ελάχιστο στο $x = 1$: $f(1) = 1 - 0 = 1$

5. Δεύτερη Παράγωγος:

$f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0$ για κάθε $x > 0$

Η $f$ είναι κυρτή σε όλο το πεδίο ορισμού.

6. Σύνολο Τιμών: $f((0, +\infty)) = [1, +\infty)$

Παράδειγμα 5: Να δειχθεί ότι $e^x > 1 + x$ για κάθε $x \neq 0$ χρησιμοποιώντας μελέτη συνάρτησης.

Λύση:

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x) = e^x - 1 - x$.

Πρέπει να δείξουμε ότι $f(x) > 0$ για κάθε $x \neq 0$.

Πεδίο Ορισμού: $\mathbb{R}$

Πρώτη Παράγωγος:

$f'(x) = e^x - 1$

$f'(x) = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0$

Μονοτονία:

• $x < 0$: $e^x < 1 \Rightarrow f'(x) < 0$ (φθίνουσα)
• $x > 0$: $e^x > 1 \Rightarrow f'(x) > 0$ (αύξουσα)

Ακρότατο:

Το $x = 0$ είναι σημείο τοπικού ελαχίστου.

$f(0) = e^0 - 1 - 0 = 1 - 1 = 0$

Συμπέρασμα:

Επειδή η $f$ έχει ολικό ελάχιστο στο $x = 0$ με τιμή $f(0) = 0$:

$$f(x) \geq f(0) = 0 \text{ για κάθε } x \in \mathbb{R}$$

και $f(x) = 0$ μόνο για $x = 0$.

Άρα για κάθε $x \neq 0$:

$$f(x) > 0 \Rightarrow e^x - 1 - x > 0 \Rightarrow e^x > 1 + x$$