Εξίσωση Bernoulli

Εισαγωγή στην Εξίσωση Bernoulli

Η εξίσωση Bernoulli, που διατυπώθηκε από τον Ελβετό μαθηματικό Daniel Bernoulli το 1738, αποτελεί τη θεμελιώδη εξίσωση της υδροδυναμικής. Περιγράφει τη συμπεριφορά ιδανικών ρευστών σε κίνηση και αποτελεί εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ενέργειας.

Προϋποθέσεις Εφαρμογής

Η εξίσωση Bernoulli ισχύει για:

1. Ιδανικό ρευστό: Μηδενικό ιξώδες (χωρίς εσωτερική τριβή)
2. Ασυμπίεστο ρευστό: Σταθερή πυκνότητα ($\rho = \text{σταθ}$)
3. Στρωτή ροή: Χωρίς τύρβες
4. Μόνιμη ροή: Οι συνθήκες δεν μεταβάλλονται με τον χρόνο

Η Εξίσωση Bernoulli

Για δύο σημεία (1) και (2) κατά μήκος μιας ρευματικής γραμμής:

$$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$$

ή σε γενική μορφή:

$$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{σταθερό}$$

Φυσική Ερμηνεία των Όρων

Κάθε όρος έχει διαστάσεις πίεσης (ενέργεια ανά μονάδα όγκου):

1. $P$: Στατική πίεση (ενέργεια πίεσης/όγκος)
2. $\frac{1}{2}\rho v^2$: Δυναμική πίεση (κινητική ενέργεια/όγκος)
3. $\rho g h$: Υδροστατική πίεση (δυναμική ενέργεια βαρύτητας/όγκος)

Ειδικές Περιπτώσεις

Οριζόντιος Σωλήνας ($h_1 = h_2$)

$$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$$

Συμπέρασμα: Όπου η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη, η πίεση είναι μικρότερη.

Ρευστό σε Ηρεμία ($v_1 = v_2 = 0$)

$$P_1 + \rho g h_1 = P_2 + \rho g h_2$$

Αυτή είναι η υδροστατική εξίσωση.

Θεώρημα του Torricelli

Για υγρό που εκρέει από οπή σε δοχείο, η ταχύτητα εκροής είναι:

$$v = \sqrt{2gh}$$

όπου $h$ είναι το ύψος της στάθμης πάνω από την οπή.

Φαινόμενο Venturi

Όταν ρευστό ρέει μέσα από σωλήνα με στένωση, στο στενότερο τμήμα:

• Η ταχύτητα αυξάνεται (εξίσωση συνέχειας)
• Η πίεση μειώνεται (εξίσωση Bernoulli)

Εφαρμογές

1. Αεροδυναμική άνωση: Η ταχύτερη ροή αέρα πάνω από το φτερό αεροπλάνου δημιουργεί χαμηλότερη πίεση
2. Σωλήνας Pitot: Μέτρηση ταχύτητας αεροσκαφών
3. Καρμπυρατέρ: Ανάμιξη καυσίμου-αέρα
4. Ψεκαστήρες: Λειτουργία με το φαινόμενο Venturi
5. Σωλήνας Venturi: Μέτρηση παροχής ρευστών