Ανατοκισμός

Ανατοκισμός

Ο ανατοκισμός είναι η διαδικασία κατά την οποία οι τόκοι ενός κεφαλαίου προστίθενται στο αρχικό κεφάλαιο και στη συνέχεια τοκίζονται μαζί με αυτό. Αποτελεί μία από τις σημαντικότερες εφαρμογές της εκθετικής αύξησης στα οικονομικά.

Απλός vs Σύνθετος Τόκος

Απλός Τόκος

Στον απλό τόκο, οι τόκοι υπολογίζονται μόνο στο αρχικό κεφάλαιο:

$$A = P(1 + rt)$$

όπου:

• $A$: τελική αξία
• $P$: αρχικό κεφάλαιο
• $r$: ετήσιο επιτόκιο (ως δεκαδικός)
• $t$: χρόνος σε έτη

Σύνθετος Τόκος (Ανατοκισμός)

Στον σύνθετο τόκο, οι τόκοι τοκίζονται μαζί με το κεφάλαιο:

$$A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$

όπου:

• $n$: αριθμός περιόδων ανατοκισμού ανά έτος

Τύποι Ανατοκισμού

1. Ετήσιος Ανατοκισμός ($n = 1$)

$$A = P(1 + r)^t$$

2. Εξαμηνιαίος Ανατοκισμός ($n = 2$)

$$A = P\left(1 + \frac{r}{2}\right)^{2t}$$

3. Τριμηνιαίος Ανατοκισμός ($n = 4$)

$$A = P\left(1 + \frac{r}{4}\right)^{4t}$$

4. Μηνιαίος Ανατοκισμός ($n = 12$)

$$A = P\left(1 + \frac{r}{12}\right)^{12t}$$

5. Συνεχής Ανατοκισμός ($n \to \infty$)

Όταν $n \to \infty$, χρησιμοποιούμε το όριο:

$$\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n} = e^r$$

Άρα:

$$A = P \cdot e^{rt}$$

Αυτός είναι ο μέγιστος δυνατός ανατοκισμός για δεδομένο επιτόκιο.

Πραγματικό Ετήσιο Επιτόκιο (APY)

Το Πραγματικό Ετήσιο Επιτόκιο (Annual Percentage Yield) λαμβάνει υπόψη τον ανατοκισμό:

$$APY = \left(1 + \frac{r}{n}\right)^n - 1$$

Για συνεχή ανατοκισμό:

$$APY = e^r - 1$$

Παρούσα Αξία

Η παρούσα αξία $PV$ είναι το κεφάλαιο που πρέπει να επενδυθεί σήμερα για να αποκτήσουμε μελλοντική αξία $FV$:

$$PV = \frac{FV}{\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}}$$

Για συνεχή ανατοκισμό:

$$PV = FV \cdot e^{-rt}$$

Χρόνος Διπλασιασμού Κεφαλαίου

Κανόνας του 72

Για γρήγορη εκτίμηση του χρόνου διπλασιασμού:

$$t_d \approx \frac{72}{r\%}$$

όπου $r\%$ είναι το ετήσιο επιτόκιο σε ποσοστό.

Ακριβής Τύπος

Για ετήσιο ανατοκισμό:

$$t_d = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)}$$

Για συνεχή ανατοκισμό:

$$t_d = \frac{\ln 2}{r}$$

Περιοδικές Καταθέσεις (Ράντα)

Όταν κάνουμε ίσες περιοδικές καταθέσεις $R$ στο τέλος κάθε περιόδου:

$$FV = R \cdot \frac{(1 + i)^n - 1}{i}$$

όπου:

• $FV$: μελλοντική αξία
• $R$: περιοδική κατάθεση
• $i$: επιτόκιο ανά περίοδο
• $n$: συνολικός αριθμός περιόδων

Δάνεια με Δόσεις

Για δάνειο $P$ με $n$ ίσες δόσεις $M$ και επιτόκιο $i$ ανά περίοδο:

$$M = P \cdot \frac{i(1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1}$$

Αυτός είναι ο τύπος που χρησιμοποιούν οι τράπεζες για τον υπολογισμό στεγαστικών δανείων.