Τρίγωνο του Pascal

Εισαγωγή στο Τρίγωνο του Pascal

Το τρίγωνο του Pascal είναι μια τριγωνική διάταξη αριθμών όπου κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αριθμών ακριβώς από πάνω του. Πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Blaise Pascal, αν και ήταν γνωστό αιώνες πριν σε διάφορους πολιτισμούς.

Κατασκευή του Τριγώνου

Το τρίγωνο ξεκινά με 1 στην κορυφή. Κάθε επόμενη σειρά έχει 1 στα άκρα, και κάθε εσωτερικός αριθμός είναι το άθροισμα των δύο από πάνω του:

$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 2 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & \\ & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \\ 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \end{array}$$

Η $n$-οστή σειρά (ξεκινώντας από $n=0$) περιέχει τους συντελεστές $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, ..., \binom{n}{n}$.

Σχέση με Διωνυμικούς Συντελεστές

Το στοιχείο στη σειρά $n$ και στήλη $k$ (ξεκινώντας από 0) είναι ο διωνυμικός συντελεστής:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Η Ταυτότητα του Pascal

Η θεμελιώδης ιδιότητα που ορίζει το τρίγωνο:

$$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$$

Αυτό σημαίνει: κάθε αριθμός = (αριθμός πάνω αριστερά) + (αριθμός πάνω δεξιά)

Ιδιότητες του Τριγώνου

1. Συμμετρία

Κάθε σειρά είναι συμμετρική:

$$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$$

2. Άθροισμα Σειράς

Το άθροισμα της $n$-οστής σειράς είναι:

$$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$

3. Διαγώνιοι Αριθμοί

• 1η διαγώνιος: 1, 1, 1, 1, ... (σταθερά 1)
• 2η διαγώνιος: 1, 2, 3, 4, 5, ... (φυσικοί αριθμοί)
• 3η διαγώνιος: 1, 3, 6, 10, 15, ... (τριγωνικοί αριθμοί)
• 4η διαγώνιος: 1, 4, 10, 20, 35, ... (τετραεδρικοί αριθμοί)

4. Ακολουθία Fibonacci

Το άθροισμα των στοιχείων κατά τις «ρηχές» διαγωνίους δίνει την ακολουθία Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Εφαρμογή στο Διωνυμικό Θεώρημα

Η $n$-οστή σειρά του τριγώνου δίνει τους συντελεστές του $(a+b)^n$:

$$(a+b)^4 = 1a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 1b^4$$

Οι συντελεστές 1, 4, 6, 4, 1 είναι η 4η σειρά του τριγώνου.

Μοτίβα και Ιδιαιτερότητες

Δυνάμεις του 11

Οι πρώτες σειρές του τριγώνου αναπαριστούν δυνάμεις του 11:

• Σειρά 0: 1 = $11^0$
• Σειρά 1: 1, 1 → 11 = $11^1$
• Σειρά 2: 1, 2, 1 → 121 = $11^2$
• Σειρά 3: 1, 3, 3, 1 → 1331 = $11^3$
• Σειρά 4: 1, 4, 6, 4, 1 → 14641 = $11^4$

Τρίγωνο Sierpinski

Αν χρωματίσουμε τους άρτιους αριθμούς με ένα χρώμα και τους περιττούς με άλλο, εμφανίζεται το φράκταλ του Sierpinski.

Αναδρομικός Υπολογισμός

Το τρίγωνο μπορεί να κατασκευαστεί αναδρομικά χωρίς να υπολογίζουμε παραγοντικά:

$$\text{Αρχίζουμε με: } \binom{0}{0} = 1$$

$$\text{Κάθε επόμενο: } \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$$

με $\binom{n}{k} = 0$ αν $k < 0$ ή $k > n$.