Νόμοι του Kirchhoff

Εισαγωγή στους Νόμους του Kirchhoff

Οι νόμοι του Kirchhoff είναι δύο θεμελιώδεις αρχές που επιτρέπουν την ανάλυση σύνθετων ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Διατυπώθηκαν το 1845 από τον Γερμανό φυσικό Gustav Kirchhoff και βασίζονται στις αρχές διατήρησης του φορτίου και της ενέργειας.

Πρώτος Νόμος του Kirchhoff (Νόμος Κόμβων)

Ο πρώτος νόμος αφορά τη διατήρηση του ηλεκτρικού φορτίου σε κάθε κόμβο του κυκλώματος.

Διατύπωση: Το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων σε κάθε κόμβο ενός κυκλώματος είναι μηδέν.

$$\sum_{k=1}^{n} I_k = 0$$

Ισοδύναμα: Το άθροισμα των ρευμάτων που εισέρχονται σε έναν κόμβο ισούται με το άθροισμα των ρευμάτων που εξέρχονται από αυτόν.

$$\sum I_{εισερχ} = \sum I_{εξερχ}$$

Ορισμός Κόμβου

Κόμβος είναι κάθε σημείο του κυκλώματος όπου συναντώνται τρεις ή περισσότεροι αγωγοί.

Σύμβαση Προσήμων

• Ρεύματα που εισέρχονται στον κόμβο: θετικά (+)
• Ρεύματα που εξέρχονται από τον κόμβο: αρνητικά (-)

(ή το αντίστροφο, αρκεί να είμαστε συνεπείς)

Δεύτερος Νόμος του Kirchhoff (Νόμος Βρόχων)

Ο δεύτερος νόμος αφορά τη διατήρηση της ενέργειας σε κάθε κλειστό βρόχο του κυκλώματος.

Διατύπωση: Το αλγεβρικό άθροισμα όλων των τάσεων σε κάθε κλειστό βρόχο ενός κυκλώματος είναι μηδέν.

$$\sum_{k=1}^{n} V_k = 0$$

Ισοδύναμα: Το άθροισμα των ΗΕΔ σε έναν κλειστό βρόχο ισούται με το άθροισμα των πτώσεων τάσης.

$$\sum \mathcal{E} = \sum IR$$

Ορισμός Βρόχου

Βρόχος είναι κάθε κλειστή διαδρομή μέσα στο κύκλωμα.

Σύμβαση Προσήμων για Βρόχους

Επιλέγουμε μια φορά περιγραφής του βρόχου (ωρολογιακά ή αντιωρολογιακά):

Για ΗΕΔ (πηγές):

• Θετική (+) αν η φορά περιγραφής είναι από τον (-) στον (+) πόλο
• Αρνητική (-) αν η φορά περιγραφής είναι από τον (+) στον (-) πόλο

Για αντιστάσεις:

• Θετική (+) η πτώση τάσης $IR$ αν η φορά του ρεύματος συμφωνεί με τη φορά περιγραφής
• Αρνητική (-) αν η φορά του ρεύματος είναι αντίθετη

Μεθοδολογία Ανάλυσης Κυκλώματος

Βήμα 1: Προετοιμασία

1. Ορίστε τις φορές των ρευμάτων σε κάθε κλάδο (αυθαίρετα)
2. Αριθμήστε τους κόμβους και τους βρόχους

Βήμα 2: Εφαρμογή Νόμων

1. Γράψτε εξισώσεις κόμβων (1ος νόμος)
2. Γράψτε εξισώσεις βρόχων (2ος νόμος)
3. Αν έχετε $n$ άγνωστα ρεύματα, χρειάζεστε $n$ ανεξάρτητες εξισώσεις

Βήμα 3: Επίλυση

1. Λύστε το σύστημα εξισώσεων
2. Αρνητική τιμή ρεύματος σημαίνει ότι η πραγματική φορά είναι αντίθετη από την αρχική υπόθεση

Αριθμός Εξισώσεων

Για κύκλωμα με:

• $K$ κόμβους → $K-1$ ανεξάρτητες εξισώσεις κόμβων
• $B$ κλάδους → $B - K + 1$ ανεξάρτητες εξισώσεις βρόχων

Φυσική Ερμηνεία

1ος Νόμος: Εκφράζει τη διατήρηση του φορτίου. Δεν μπορεί να συσσωρευτεί φορτίο σε κανένα σημείο του κυκλώματος.

2ος Νόμος: Εκφράζει τη διατήρηση της ενέργειας. Η ενέργεια που παρέχεται από τις πηγές ισούται με την ενέργεια που καταναλώνεται στις αντιστάσεις.