Γραφικες Παραστασεις με Απολυτη Τιμη

Γραφικες Παραστασεις με Απολυτη Τιμη

Οι συναρτησεις που περιεχουν απολυτες τιμες εχουν χαρακτηριστικες γραφικες παραστασεις. Η κατανοηση του τροπου σχεδιασης τους ειναι βασικη δεξιοτητα στα Μαθηματικα.

Η Βασικη Συναρτηση $y = |x|$

Η συναρτηση $f(x) = |x|$ εχει γραφικη παρασταση σχηματος V.

Χαρακτηριστικα:

• Κορυφη στο σημειο $(0, 0)$
• Συμμετρικη ως προς τον αξονα $y$
• Για $x \geq 0$: $f(x) = x$ (ευθεια με κλιση $1$)
• Για $x < 0$: $f(x) = -x$ (ευθεια με κλιση $-1$)
• Ελαχιστη τιμη: $0$ στο $x = 0$
• Συνολο τιμων: $[0, +\infty)$

Μετασχηματισμοι

Κατακορυφη Μεταφορα: $y = |x| + c$

• Μετακινει τη γραφικη παρασταση κατα $c$ μοναδες προς τα πανω (αν $c > 0$) η προς τα κατω (αν $c < 0$)
• Κορυφη: $(0, c)$

Οριζοντια Μεταφορα: $y = |x - a|$

• Μετακινει τη γραφικη παρασταση κατα $a$ μοναδες προς τα δεξια (αν $a > 0$) η προς τα αριστερα (αν $a < 0$)
• Κορυφη: $(a, 0)$

Κατακορυφη Διαστολη/Συστολη: $y = k|x|$, $k > 0$

• Αν $k > 1$: Η γραφικη παρασταση γινεται πιο "απότομη"
• Αν $0 < k < 1$: Η γραφικη παρασταση γινεται πιο "πλατια"

Αναστροφη ως προς τον αξονα $x$: $y = -|x|$

• Η γραφικη παρασταση γινεται σχηματος ανεστραμμενου V ("Λ")
• Μεγιστη τιμη: $0$ στο $x = 0$

Γενικη Μορφη $y = a|x - h| + k$

Η γενικη συναρτηση $f(x) = a|x - h| + k$ εχει:

• Κορυφη: $(h, k)$
• Ανοιγμα προς τα πανω αν $a > 0$
• Ανοιγμα προς τα κατω αν $a < 0$
• Αξονας συμμετριας: $x = h$

Σχεδιασμος $y = |f(x)|$

Για να σχεδιασουμε την $y = |f(x)|$ απο τη γραφικη παρασταση της $y = f(x)$:

Μεθοδος:

1. Σχεδιαζουμε τη γραφικη παρασταση της $y = f(x)$
2. Το τμημα που βρισκεται πανω απο τον αξονα $x$ παραμενει αμεταβλητο
3. Το τμημα που βρισκεται κατω απο τον αξονα $x$ αντικατοπτριζεται ως προς τον αξονα $x$ ("αναδιπλωνεται" προς τα πανω)

Σχεδιασμος $y = f(|x|)$

Για να σχεδιασουμε την $y = f(|x|)$ απο τη γραφικη παρασταση της $y = f(x)$:

Μεθοδος:

1. Σχεδιαζουμε τη γραφικη παρασταση της $y = f(x)$ για $x \geq 0$
2. Αντικατοπτριζουμε αυτο το τμημα ως προς τον αξονα $y$
3. Η τελικη γραφικη παρασταση ειναι συμμετρικη ως προς τον αξονα $y$

Γραφικη Επιλυση Εξισωσεων

Για να λυσουμε γραφικα την εξισωση $|f(x)| = g(x)$:

1. Σχεδιαζουμε τις γραφικες παραστασεις $y = |f(x)|$ και $y = g(x)$
2. Οι λυσεις ειναι οι τετμημενες των σημειων τομης

Γραφικη Επιλυση Ανισωσεων

Για την ανισωση $|f(x)| < g(x)$:

• Βρισκουμε που η γραφικη παρασταση $y = |f(x)|$ ειναι κατω απο την $y = g(x)$